Continuidad de una Funcion

Continuidad de una Funcion.

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si lim_x->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el lim_x->a f(x) y debe ser igual a f(a). 

f(x)=x²

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva. 

 

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(zx) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

Teorema

Continuidad de la función compuesta

H) f es continua en x=a.
g es continua en x=f(a).
T) g o f es continua en x=a.

Demostración:

Queremos demostrar que lim_x->a g[f(x)]=g[f(a)], o sea, por definicion por limite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E^*_a,δ g[f(x)] perteneciente al E_g[f(a)],ε.

Por hipótesis g es continua en f(a) => por def. de continuidad lim_x->f(a) g(x)=g[f(a)] => por def. por limite dado ε>0 existe δ>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_f(a),δ g(x) pertenece al E_g[f(a)],ε (1)

Por hipótesis f es continua en a => por def. de continuidad lim_x->af(x) = f(a), es decir que (por def. de limite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

para todo x perteneciente al E^*_a,α f(x) pertenece al E_f(a),δ (2) 

 

De (1) y (2) se deduce que:
Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E^*_a,α g[f(x)] pertenece al E_g[f(a)],ε. 

1.-Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

2.-Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

3.-Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

4.-La función definida por:

es continua en [0, ∞).

5Dada la función:

1 Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

2¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.