Funciones Exponenciales y Logaritmicas

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición. Sea  a  un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia  a˟ se llama función exponencial de base a y exponente x.                                                Como para  a˟˃0  todo x€Ɍ  ,la función exponencial es una función de Ɍ en Ɍ. En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función exponencial.                                                                       Teorema (Leyes de los Exponentes) Sean a y b reales positivos y x,yÎÂ ,entonces: Cuando a > 1 ,si x < y, entonces, .Es decir, cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial de base a es estrictamente creciente en su dominio. Cuando 0 < a < 1, si x < y , entonces, . Esto significa que la función exponencial de base a < 1 es estrictamente decreciente en su dominio. . 10.Si 0< a < b ,se tiene: . Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases. 11. Cualquiera que sea el número real positivo  ,existe un único número real   tal que . Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva. Cuando x e y son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual x e y son racionales, la demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando x e y son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.                                                            Gráfica de la Función Exponencial
 Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir , crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es , tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos.                                                                                 Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos y tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos.                                                    El hecho de ser la función exponencial  con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. Observación. Cuando a = e ,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284….,la función exponencial ,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =                                    Potencias, logaritmos y su relación El producto de n factores iguales a a: n a · a · ... · a, se llama potencia de base a y exponente n, donde a ð 0 ó n ð 0. Es de suponer que no sea una operación conmutativa, ya que base y exponente cumplen funciones distintas. (La demostración queda conforme con sólo ver que 23 ð 32). Algunas propiedades son: a0 = 1; 00 no tiene sentido. El producto de potencias de igual base es una potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes. n m n+m an · am = a · a · ...· a · a · a · ...· a = a · a · ...· a = an+m El producto de potencias de igual e ponente es igual a una potencia del mismo exponente que tiene por base el producto de las bases.