Derivadas
Sucesivas
Si derivamos la derivada de una función, derivada
primera, obtenemos una nueva función que se llama derivada segunda,
f''(x).
Si volvemos a derivar obtenemos la derivada
tercera, f'''(x).
Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada
f'v y así sucesivamente.
Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de:
Derivada enésima
En algunos casos, podemos encontrar una
fórmula general para cualquiera de las derivadas sucesivas (y para todas
ellas). Esta fórmula recibe el nombre de derivada enésima, f'n(x).
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Criterio del signo de la derivada primera
En lo sucesivo vamos a tratar con funciones
continuas y derivables. En un curso superior sobre derivadas se considerarán
otras situaciones.
Ya vimos que hay una relación entre la
monotonía de la función f(x) (crecimiento ó decrecimiento) y el valor de la
derivada primera f ´(x).
f(x) creciente: f ´(x) > 0
f(x) decreciente: f ´(x) < 0
También veíamos que en los puntos donde la
función cambia de creciente a decreciente o de decreciente a creciente la
derivada se hace cero f ´(x) = 0 ya que el cambio de signo de la derivada se
hace con continuidad y necesariamente tiene que pasar por el valor 0.
Criterio del signo de la derivada segunda
En un punto x = a donde la exista un máximo local la derivada
primera cambia de signo de f ´ > 0 a f ´ < 0, esto significa que la
derivada primera f ´(x) pasa decreciendo por el punto x=a, necesariamente la
derivada segunda tiene que ser negativa
f ´´(a) < 0
En un punto x = a donde exista un mínimo local la derivada primera
cambia el signo de f ´< 0 a f ´ > 0, esto significa que la derivada
primera f ´(x) pasa creciendo por el punto x = a, necesariamente la derivada
segunda tiene que ser positiva
f ´´(a) > 0
Donde
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habrá
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siempre que
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f ´(a) = 0
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Máximo local
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f ´´(a) < 0
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Mínimo local
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f ´´(a) > 0
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Veamos ahora cómo se puede resolver el problema de hallar máximos y
mínimos con el criterio de la derivada segunda.
En el Ejemplo 1 nos daban la función f(x) = x3- 6x2+9x+2.
Se calculan las derivadas sucesivas f ´(x) = 3x2-12x+9, f ´´(x)
= 6x-12
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